Deus existe? por Albert Einstein

Este artigo se refere à um suposto debate entre Albert Einstein e um professor de uma Universidade de Berlim, onde Einstein nem foi aluno, mas sim professor por volta de 1914.
Ao ler esse artigo (na verdade o que vi foi um filme no YouTube), achei-o bastante interessante, mesmo não acreditando que tal idéia (bastante inocente, por sinal) houvesse partido de um físico tão importante para a humanidade como foi e ainda é Albert Einstein, porém, também não se pode esquecer que o grande cientísta era também um humanista judeu e acreditava sim em Deus.
Após receber o comentário do Everton sobre a originalidade desse artigo, achei melhor não retirá-lo, mas sim, deixar a seu critério acreditar se essa idéia partiu de Einstein ou não e se ela lhe serve de algum modo. A mim, o que vale aqui, não é a autoria do mesmo, mas sim seu conteúdo.
Editando novamente o texto, quero reafirmar que não conhecemos o verdadeiro autor do mesmo (já ficou claro, isso) e que nos disponibilizamos a dar os créditos à quem comprovar sua autoria. Não desejamos, em momento algum nos promover, mas sim trazer novamente à  tona a imagem do Deus do Bem e do Amor, independente de religião ou crença.
Alemanha
Inicio do século 20
Durante uma conferência com vários universitários, um professor da Universidade de Berlim desafiou seus alunos com esta pergunta:
“Deus criou tudo o que existe?”
Um aluno respondeu valentemente:
“Sim, Ele criou.”
“Deus criou tudo?”
Perguntou novamente o professor.
“Sim senhor”, respondeu o jovem.
O professor respondeu,
“Se Deus criou tudo, então Deus fez o mal? Pois o mal existe, e partindo do preceito de que nossas obras são um reflexo de nós mesmos, então Deus é mau?”
O jovem ficou calado diante de tal resposta e o professor, feliz, se regozijava de ter provado mais uma vez que a fé era um mito.
Outro estudante levantou a mão e disse:
“Posso fazer uma pergunta, professor?”
“Lógico.” Foi a resposta do professor.
O jovem ficou de pé e perguntou:
“Professor, o frio existe?”
“Que pergunta é essa? Lógico que existe, ou por acaso você nunca sentiu frio?”
O rapaz respondeu:
“De fato, senhor, o frio não existe. Segundo as leis da Física, o que consideramos frio, na realidade é a ausência de calor. Todo corpo ou objeto é susceptível de estudo quando possui ou transmite energia, o calor é o que faz com que este corpo tenha ou transmita energia.
O zero absoluto é a ausência total e absoluta de calor, todos os corpos ficam inertes, incapazes de reagir, mas o frio não existe. Nós criamos essa definição para descrever como nos sentimos se não temos calor”
“E, existe a escuridão?”
Continuou o estudante.
O professor respondeu: “Existe.”
O estudante respondeu:
“Novamente comete um erro, senhor, a escuridão também não existe. A escuridão na realidade é a ausência de luz.
A luz pode-se estudar, a escuridão não!
Até existe o prisma de Nichols para decompor a luz branca nas várias cores de que está composta, com suas diferentes longitudes de ondas.
A escuridão não!
Um simples raio de luz atravessa as trevas e ilumina a superfície onde termina o raio de luz.
Como pode saber quão escuro está um espaço determinado? Com base na quantidade de luz presente nesse espaço, não é assim?
Escuridão é uma definição que o homem desenvolveu para descrever o que acontece quando não há luz presente”
Finalmente, o jovem perguntou ao professor:
“Senhor, o mal existe?”
O professor respondeu:
“Claro que sim, lógico que existe, como disse desde o começo, vemos estupros, crimes e violência no mundo todo, essas coisas são do mal.”
E o estudante respondeu:
“O mal não existe, senhor, pelo menos não existe por si mesmo. O mal é simplesmente a ausência do bem, é o mesmo dos casos anteriores, o mal é uma definição que o homem criou para descrever a ausência de Deus.
Deus não criou o mal.
Não é como a fé ou como o amor, que existem como existem o calor e a luz.
O mal é o resultado da humanidade não ter Deus presente em seus corações.
É como acontece com o frio quando não há calor, ou a escuridão quando não há luz.”
Por volta dos anos 1900, este jovem foi aplaudido de pé, e o professor apenas balançou a cabeça permanecendo calado…
Imediatamente o diretor dirigiu-se àquele jovem e perguntou qual era seu nome?
E ele respondeu:
“ALBERT EINSTEIN.”
 Fonte: http://www.evoluindo.org/espiritualidade/deus-existe
Você pode fazer o download do vídeo no link:  http://www.4shared.com/video/oyE6iI1C/Albert_Einstein.html?

Solução do Desafio do Elevador (por 4L4N L1R4)

Pessoal, o Alan solucionou o desafio do elvador (http://matemetica.blogspot.com/2010/08/desafio-do-elevador.html) estão lembrados? Muito legal o racicínio dele. Vale apena conferir. Valeu Alan:

Como no elevador cabem 20 adultos, 15 deles correspondem a 3/4 da lotação. Sobrando portanto, 1/4 da lotação do elevador para as crianças. Logo 1/4 de 24 crianças são 6 crianças que poderão entrar no elevador. ;)
4L4N L1R4

Piada de Matemático

Defina TANGENTE !

R)

Na cidade falamos: É tanta gente que eu nem consigo descer.
Na roça: É Tangente que eu num cunsigu arriá!

Uma questão da OBMEP do nével 3 (Ensino Médio)

Bom dia Amigos.
Vamos Experimentar uma questão da OBMEP do nível 3. Não se esquaça de que você pode clicar na questão para ampliá-la.

Os números Perfeitos e os Números Amigáveis

Números Perfeitos

Um número perfeito é aquele cuja soma dos seus divisores, excepto ele próprio, é igual a ele. 

Como exemplo de números perfeitos temos:

• 
  
  
  6 = 1 + 2 +3
• 
  
  
  28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
  
  
  Números Amigáveis
  
  
  Números amigáveis são pares de números onde um é igual à soma dos divisores do outro. 
  Exemplo:
  Pense no número 220. Quando se dividido por 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110, o resultado é um número inteiro. Por isso, estes números chamam-se divisores de 220. Se os somarmos todos obtemos 284. Acontece que a soma dos divisores de 284, que são 1, 2, 4, 71 e 142, é...220! E é por causa desta coincidência que o 220 e o 284 se chamam números amigáveis.
  
  
  Você seria capaz de descubrir outro número perfeito e outros números amigáveis?
  Uma boa semana para todos!
  
  
  Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/euler/numerosamigaveis.htm

Uma questão da OBMEP do nével 2 (8 e 9 anos)

Agora vai uma do nível 2.(Clique na imagem para ampliar)

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Frase de Louis Pasteur

A diferença entre o possível e o impossível está na vontade humana.

Uma questão da OBMEP do nével 1 (6 e 7 anos)

E aí amigos, hoje vou colocar uma questão da OBMEP e testar o conhecimento de vocês. Abração! (Clique na imagem para ampliar)

 

Frase de Gottfried Leibniz

Amar é encontrar na felicidade de outrem a própria felicidade.

Banco de questões da OBMEP

Amigos, o link abaixo é do banco de questões da OBMEP ou seja, todas as questões que cairam na OBMEP desde 2005 com resolução.
É muito bom se você deseja se especializar nessas questões e quem sabe ajudar estudantes que irão fazer a prova.
http://www.obmep.org.br/bq/bancoobmep2010.pdf
Grande  Abraço!

Frase de Albert Einstein

O mundo é um lugar perigoso de se viver, não por causa daqueles que fazem o mal, mas sim por causa daqueles que observam e deixam o mal acontecer.

Segunda Fase da OBMEP

 Amigos, a segunda fase da OBMEP vai acontecer no dia 11 de Setembro(sábado) 14:30 h (horário de Brasília). Para saber se um estudante foi classificado acesse um dos links abaixo.

(1) Brasil  http://www.obmep.org.br/mapa_2afase_content.html

(2) Amazonas http://www.obmep.org.br/classificadosMunicipiosFase2.do?&stateId=AM

(3) Manaus http://www.obmep.org.br/classificadosEscolasFase2.do?cityRegionCode=130300702603


Abraços!

Desafio do Elevador

Um elevador pode levar 20 adultos ou 24 crianças. Se 15 adultos já estão nesse elevador, quantas crianças ainda podem entrar?

Frase de René Descartes

Um otimista pode ver uma luz onde não há nenhuma, mas por que o pessimista sempre corre para apagá-la?

Triângulos Pitagóricos

Os Triângulos Pitagóricos são triângulos retângulos cujas medidas de seus lados são números naturais como o triângulo acima. Observem que tais medidas devem satisfazer o Teorema de Pitágoras (abaixo).

Você seria capaz de descobrir outros triângulos pitagóricos?
Pense, pense, pense...

Frase de Aristóteles

As pessoas se dividem entre aquelas que poupam como se vivessem para sempre e aquelas que gastam como se fossem morrer amanhã.

Desafio do próximo número

Escreva o número seguinte nessa sequência numérica.

1, 11, 21, 1211, 111221, 312211,

Aspectos e estratégias motivacionais no ensino de matemática - 4

Cremos que todos gostam de se divertir, não é verdade? Os estudantes não são diferentes. Se conseguirmos tornar o ato de aprender algo mais interessante e prazeroso isso será usado a nosso favor no processo do ensinar.
O lúdico é uma ferramenta que pode ser mais explorada pelo professor, é claro que não poderá substituir completamente uma aula tradicional mas por que não experimentar com discernimento para ver os seus resultados?
No link a seguir, estamos disponibilizando um jogo onde o estudante pode desenvolver habilidades em resolver equações fracionárias. Como você notará, ele pode ser adaptado para qualquer outro assunto.
Espero que gostem.
Abraços!
http://www.4shared.com/dir/G-VjOQKP/Trilha.html

Numb3rs

E Aí amigos,


Gostaria de fazer uma sugestão para quem possui tv por asssinatura. É a série Numb3rs que mostra dois irmãos, um que é agente do FBI e outro que é pesquisador do Departamento de Matemática Aplicada em uma Universidade Americana, que juntos tentam desvendar crimes que acontecem em Los Angeles usando muita matemática e lógica. A série é exibida no Brasil pela A&E e também pelo Telecine Action.


Tenham todos uma Mega Semana!

Par ou Impar com três pessoas

Sabemos que o par ou impar é uma forma de se decidir um vencedor entre duas pessoas em apenas um lance. O zerinho um pode ser uma forma de se decidir um vencedor entre duas ou mais pessoas, porém não podemos garantir que será em apenas um lance.
Você seria capaz de criar um jogo com os dedos para decidir o vencedor entre 2 ou mais participantes em um só lance?
Pense, pense, pense ...

Frase de Blaise Pascal

A consciência é o melhor livro de moral e o que menos se consulta.

Desafio do Gato e do Rato

E aí amigos.


Vou desafiar vocês para ver quem consegue ressolver está questão que fez parte do último curso que ministrei na UFAM.


Um gato persegue um rato que tem, inicialmente, uma vantagem de 35 de seus pulos. A cada dois pulos que o gato dá em direção ao rato, este dá 5 pulos; mas os pulos do gato são 3 vezes maiores que os do rato.
Quantos pulos o gato deveria dar para alcançar o rato?


Você pode encontrar este e outros prblemas no livro "É divertido resolver problemas" de Josimar Silva e Luís Lopes. Abração Grande!

Frase de Albert Einstein

Não tentes ser bem sucedido, tenta antes ser um homem de valor.

Você sabia ...

... que podemos utilizar a Geometria Fractal para determinar em qual estágio se encontram tumores malignos no sistema nervoso central

“Nuvens não são esferas, montanhas não são cones, o litoral não é um círculo e tampouco um relâmpago viaja em linha reta pelo ar” Mandelbrot (Um dos criadores da Geometria Fractal)

Aspectos e estratégias motivacionais no ensino de matemática - 3

Você é uma pessoa que em suas relações gosta de fazer o outro ter satisfação ou você se sente mais seguro distribuindo castigos e promovendo o temor?
De maneira geral, nossa personalidade tende a crescer em torno de um desses dois focos comportamentais: Premiação x Punição. Isso reflete, se somos professores, na forma como lidamos com os estudantes na sala de aula. Vocês devem lembrar da nossa querida professora Genoveva do primário que adorava dizer: "Menino, se você não se aquietar agora vai ficar de castigo!" Mas tinha também a profa. Gertrudes que cativava e procurava premiar-nos com elogios, pontos e algumas vezes com guloseimas.
Muito bem amigos, uma das maneiras de motivar os estudantes em sala de aula é através do castigo ou da premiação. Qual o melhor caminho? Sempre temos a tendência de dizer que o melhor caminho é o mais bonito que no caso é o da premiação. Não resta dúvida de que se conseguíssemos motivar sempre via premiação seria mais agradável, porém nem sempre a realidade é tão satisfatória e cada caso é um caso, cada situação é uma situação e não devemos nos fechar em apenas um caminho. Devemos sim ser sábios para sabermos escolher o mais adequado para aquele momento.
Abraços!

I Colóquio de Matemática - Região Norte

 

Amigos,
Quem puder participar, com certeza vai ser muito bom. É em Bélem e como não vai ter nada lá em 2014, vamos incentivar agora rsrsrsrsrsrs...Vou fazer o possível para ir.
O link para maiores informações é
http://www.ufpa.br/sbmnorte/coloquio/

Olá Amigos.


Queria mostrar hoje uma relação muito especial que existe entre a matemática e a música.
Alguns de vocês já devem ter ouvido falar em faixa de Möbius. Quem já foi ao IMPA no Rio, já viu no seu corredor principal uma escultura dessa faixa. Ela é  símbolo do IMPA.
Esta faixa é o exemplo de uma superfície não orientável (que só possui um lado e não dois), como podemos ver na figura acima.
Pois é, quem diria que tal superfície tem relação com a maravilhosa música de Bach.
Como pode ser?
A resposta você encontra assistindo o vídeo abaixo.

O Cálculo Mental

Responda rápido. Quanto vale 12 x 32?


Demorou muito, mas e se fizermos ...


(1 x 32)acrescentando um zero + 2 x 32


Então teremos 320 + 64 = 384.


Legal né!


Apesar da existência das calculadoras, sempre que fizermos cálculos mentais, estaremos levando nossos neurônios para "malhar" na Matemacademia.

Aspectos e estratégias motivacionais no ensino de matemática - 2

Continuando nossas postagens referentes a questão motivacional em sala de aula, quase sempre somos levados a crer que as condições de trabalho tornam impossível o nosso sucesso profissional e tendemos a desistir, nos tornando mais um professor a "ver o bonde passar sem destino" e sem espectativas positivas do futuro.
Acredito que muitos aqui já conhecem uma pequena história que fala de um senhor aposentado e de um surfista que vivem em uma cidade praiana e todos os dias se encontram pela manhã, este para surfar e aquele para jogar estrelas do mar de volta para o mar, antes que morram secas ao sol. O surfista intrigado, olhando para a infinidade de estrelas na praia que não se salvarão apesar dos esforços do aposentado, questiona: "Por que o senhor insiste nessa ação inútil de devolver algumas estrelas de volta ao mar? Não vê que a grande maioria vai morrer? " Muito calmamente o senhor pega mais uma estrela, mira em direção ao mar, joga-a de volta, volta-se para o jovem e, olhando em seus olhos, diz: "Para aquela eu fiz a diferença".
Com certeza não iremos transformar o mundo, nem mesmo toda nossa sala de aula, mas para alguns estudantes modificaremos o seu mundo.
Abraços a todos e voltamos amanhã!

Nivelamento para o Mestrado em Matemática UFAM

Então amigos,

Encontran-se abertas as inscrições para a disciplina Análise Real (Nivelamento para o Mestrado). A proficiência nessa disciplina pode ser um dos critérios usados pela Comissão de Seleção de alunos regulares para o Curso de Mestrado em Matemática.

PERÍODO DE INSCRIÇÃO E INÍCIO DAS AULAS

Inscrição: 26/07/2010 a 06/08/2010  Início das Aulas: 16/08/2010

Horário da Disciplina: Segunda, Quarta das 14:00 às 16:00 h

NÚMERO DE VAGAS

30 vagas

DOCUMENTOS PARA INSCRIÇÃO

a)      Formulário de Inscrição;

b)      Diploma de Graduação, documento equivalente ou declaração de formando (cópia autenticada);

c)      Histórico Escolar de Curso Superior (cópia autenticada);

d)      Curriculum Lattes ( acesse e cadastre-se http://lattes.cnpq.br/index.htm );

O Formulário de Inscrição está disponível na Secretaria de Mestrado em Matemática ou na internet http://propesp.ufam.edu.br/modules/tinyd3 .  A inscrição é gratuita;

SELEÇÃO

           A Seleção será feita por uma Comissão de Seleção, nomeada pela Coordenação de Pós-Graduação, que usará como critérios a análise de currículum e de histórico escolar.

LOCAL DE INSCRIÇÃO

A inscrição dos candidatos será realizada no período de 26/07/2010 a 06/08/2010, na Secretaria de Mestrado em Matemática, situada na Avenida. Gal. Rodrigo Otávio Jordão Ramos, 3000, Bloco Dorval Varela, Setor Norte da UFAM ao lado da Faculdade de Direito,  Bairro do Coroado  CEP:  69.077-000. Fone-Fax: (92) 3305-4604 - Horário de atendimento: 9:00 às 12:00 h e 14 às 17 h.

OBMEP

A OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA DAS ESCOLAS PÚBLICAS (OBMEP) é um projeto que vem criando um ambiente estimulante para o estudo da Matemática entre alunos e professores de todo o país.
Voltada para a escola pública, seus estudantes e professores, a OBMEP tem o compromisso de afirmar a excelência como valor maior no ensino público. Suas atividades vêm mostrando a importância da Matemática para o futuro dos jovens e para o desenvolvimento do Brasil.
Dentre as realizações da OBMEP destacam-se:

• a produção e distribuição de material didático de qualidade, também disponível neste site;
• o Estágio dos Professores Premiados, um momento de reconhecimento à competência e dedicação  desses profissionais em um  ambiente de estudo estimulante e enriquecedor. Realizada nas edições 2005-06-07-08 da OBMEP, a atividade passa por uma reformulação e um novo modelo deverá ser implementado nos próximos anos;
• o Programa de Iniciação Científica Jr. (PIC), para os medalhistas da OBMEP estudarem Matemática por 1 ano, com  bolsa de estudos do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq);
• o Programa de Iniciação Científica – Mestrado (PICME), para medalhistas da OBMEP que estejam cursando graduação com bolsas do CNPq (IC) e CAPES (Mestrado);
• a Preparação Especial para Competições Internacionais (PECI). Direcionada a aproximadamente 30 medalhistas de ouro selecionados pela excepcionalidade de seus talentos para a matemática, esta atividade visa prepará-los para participação de competições internacionais na área;
• a mobilização de Coordenadores Regionais para a realização de atividades como seminários com professores, cerimônias  de premiação e encontros com diretores de escolas;
• os encontros dos Medalhistas de Ouro da OBMEP, uma semana com muita Matemática e diversão, e uma ótima oportunidade para fazer amigos que também gostam de Matemática;

 Com sua primeira edição em 2005, a OBMEP vem crescendo a cada ano – confira em OBMEP em números.  Em 2009, mais de 19 milhões de alunos se inscreveram na competição e cerca de 99% dos municípios brasileiros estiveram representados.
Os sucessivos recordes de participação fazem da OBMEP a maior Olimpíada de Matemática do mundo.

fonte: http://www.obmep.org.br/

Aspectos e estratégias motivacionais no ensino de matemática

Nossa amiga Kátia nos pediu dicas de como lidar com as dificuldades dos estudantes do ensino fundamental no aprendizado da matemática. Até mesmo operações básicas eles tem dificuldades disse-nos a Kátia.

Existem estratégias para lidar com essas situações. É claro que não devemos esperar que elas sanem completamente as dificuldades, mas em projetos realizados com os estudantes de Prática de Ensino e Seminário na UFAM pudemos observar que duas coisas são fundamentais.

A primeira é como motivar os estudantes e a segunda como tornar a família do estudante comprometida com a sua educação. Se conseguirmos obter algum sucesso nisso então a qualidade da aprendizagem melhorará.

A motivação é um assunto muito vasto e não pretendemos esgotá-lo em nossas postagens. Mas vamos gradativamente conversando sobre ela e pedimos a todos aqueles com experiência em motivar estudantes que comentassem e dessem sua contribuição.

Amanhã voltaremos a postar mais sobre a questão motivacional. Obrigado pela sugestão Kátia. Abração!

XXXIII CONGRESSO NACIONAL DE MATEMÁTICA APLICADA

Então amigos. Este Congresso vai acontecer em Águas de Lindóia - São Paulo entre 20 e 23 de setembro e deve ser "Show". Nosso amigo Jorge Luiz é quem nos deu a dica.
Segue abaixo o link para maiores informações. Abração Jorge!
http://www.congresscentral.com.br/cnmac2010/programa_mc.php

Educação Matemática e Paz - Texto do Prof. Dr. Ubiratan D’Ambrosio

Minha proposta é fazer uma Educação para a Paz e, em particular, uma Educação Matemática para a Paz.

Muitos continuaram intrigados: "Mas como relacionar trinômio de 2° grau com Paz?". É provável que esses mesmos indivíduos costumam ensinar trinômio de 2° grau dando como exemplo a trajetória de um projétil de canhão. Mas estou quase certo que não dizem, nem sequer sugerem que aquele belíssimo instrumental matemático, que é o trinômio de 2° grau, é o que dá a certos indivíduos – artilheiros profissionais, que provavelmente foram os melhores alunos de Matemática da sua turma – a capacidade de dispararem uma bomba mortífera de um canhão para atingir uma população de gente, de seres humanos, carne e osso, emoções e desejos, e matá-los, destruir suas casas e templos, destruir árvores e animais que estejam por perto, poluir qualquer lagoa ou rio que esteja nos arredores. A mensagem implícita acaba sendo: aprenda bem o trinômio do 2° grau e você será capaz de fazer tudo isso. Somente quem faz um bom curso de Matemática tem suficiente base teórica para apontar canhões sobre populações.

Claro, muitos dirão, como já disseram: "Mas isso é um discurso demagógico. Essa destruição horrível só se fará quando necessário. E é importante que nossos jovens estejam preparados para o necessário." E os defensores de um conteúdo dominante dizem que a matemática ensinada é essencial para essa preparação. Milhões, durante toda a história da humanidade, têm acreditado na necessidade de se preparar para uma possível agressão, inventando meios mais “eficazes” de, em nome de defesa, agredir, o que têm causado enormes perdas materiais e morais. Seria fundamental lembrar que os interessados nesse estado de coisas justificam dizendo ser isso necessário porque o alvo da nossa bomba destruidora é um indivíduo que não professa o nosso credo religioso, que não é do nosso partido político, que não segue nosso modelo econômico de propriedade e produção, que não tem nossa cor de pele ou nossa língua, enfim o alvo de nossa bomba destruidora é um indivíduo que é diferente. Tem sido e continua sendo esse o conceito dominante nas relações sociais e políticas: ver, no diferente, um agressor em potencial.

O trinômio de 2° grau serviu como exemplo para argumentar. A importância tão feia que destacamos de uma coisa tão linda como o trinômio do 2° grau merece ser comentada. Não se propõe eliminar o trinômio de 2° grau dos programas, mas sim que se utilize algum tempo para mostrar, criticamente, as coisas feias que se tem feito com ele e destacar as coisas lindas que se pode fazer com ele.

A geração, organização intelectual e social e a difusão do conhecimento, dão o quadro geral no qual procuro desenvolver minhas propostas específicas para a educação matemática.

O Prof. Dr. Ubiratan D’Ambrosio  é Professor Emérito de Matemática, Universidade Estadual de Campinas/UNICAMP, e Professor dos Programas de Pós-Graduação da Pontifícia Universidade Carólica de São Paulo/PUCSP, Brasil

Para Pesquisar

Por que a média harmônica tem este nome?

Por que a média geométrica tem este nome?

Descubra uma utilidade prática para a média geométrica assim como demos um exemplo prático para o uso da média harmônica.

Você Sabia Que...

 ... A média harmônica, a média geométrica e a média aritmética entre dois números formam, nesta ordem, uma PG? Você seria capaz de provar este fato?

... É a média harmônica que se usa no cálculo da velocidade média entre dois trechos de mesma distância e não a média aritmética? Você seria capaz de provar este fato?

Apresentaremos essas provas em breve!

Função característica

Mostre que a função denfida por H(x)=1, se x pertence aos racionais e 0, se x nao pertence aos racionais é periodica não constante de periodos denso no conjunto dos reais.


Prova:


(1) Ela é periódica pois
H(x+1) = H(x) para todo x em R.


Com efeito, se x for racional então x+1 também é logo H(x+1) = H(x) = 1. Analogamente se x for irracional então x+1 também é logo H(x+1) = H(x) = 0.


(2) Ela é não constante já que H(2) = 1 ≠ 0 = H(pi)


(3) Tem períodos denso nos reais.


Basta observar que se p é racional então p é um período para H.
Com efeito, se x é racional, x+p é racional e H(x+p) = H(x) = 1 e se x for irracional então x+p é irracional e assim H(x+p) = H(x) = 0.
Como os racionais são densos nos reais; os racionais é um subconjunto dos períodos e todo conjunto que possui um subconjuto denso é denso, segue-se o desejado.

Demonstração realizada pelo Prof. Henrique Reffert

As Tendências Egoísticas de Cauchy atrapalharam a Genialidade Matemática de Galois

Muitas das vezes, quando estudamos matemática, apenas vemos grandes matemáticos através dos resultados que produziram mas esquecemos o seu lado humano e pessoal. Abaixo, relato trechos do livro, “A equação que ninguém conseguia resolver” de Mario Livio, onde se mostra que por negligencia da Ética as conseqüências podem ser desastrosas.

... Richard ficou tão impressionado com as idéias de Galois que sugeriu que o jovem gênio deveria ser admitido na Escola Politécnica sem um exame de admissão. Para dar a Galois uma chance de realizar essa meta ambiciosa, ele o estimulou a colocar sua teoria na forma de duas monografias, que o próprio Richard estava preparado a levar para o grande Cauchy para a apresentação na Academia de Ciências. As monografias foram de fato submetidas em 25 de maio e 1 de junho de 1829, com uma rápida apresentação de Cauchy, Joseph Fourier (o secretário da academia) e os físicos matemáticos Claude Navier e Denis Poisson.

Mais de seis meses depois do requerimento, em 18 de janeiro de 1830, Cauchy escreveu a seguinte carta de desculpas à academia:

Eu deveria apresentar hoje à Academia, primeiro, um relatório sobre o trabalho do jovem Galois e, segundo, uma monografia sobre a determinação analítica das raízes primitivas em que mostro como é possível reduzir tal determinação à solução de equações numéricas cujas raízes são todos inteiros positivos. Encontro-me em casa indisposto. Lamento não poder estar presente à sessão de hoje e gostaria que eu fosse escalado para a próxima sessão para os dois temas mencionados.

Contudo, na ocasião em que ocorreu a sessão seguinte, em 25 de janeiro, as tendências egoísticas de Cauchy aparentemente voltaram a predominar e ele acabou apresentando somente a sua monografia, nunca mais voltando a mencionar o trabalho de Galois...

A revolta de Galois, pelo que ele acreditava ser uma perseguição aos seus trabalhos acadêmicos, o direcionou cada vez mais para um lado auto-destrutivo e que culminou com sua morte, em um duelo, em 30 de maio de 1832. Galois morreu antes de completar 21 anos.

Você pode encontar o livro no link da livraria Saraiva abaixo

http://www.livrariasaraiva.com.br/produto/2602364/a-equacao-que-ninguem-conseguia-resolver/?ID=BB1808A77DA071F1013020749

O Geogebra

GeoGebra é um programa livre de geometria dinâmica criado por Markus Hohenwarter para ser utilizado em ambiente de sala de aula. Seu criador, Markus Hohenwarter, iniciou o projeto em 2001 na University of Salzburg e tem continuado o desenvolvimento na Florida Atlantic University. O GeoGebra é escrito em Javamúltiplas plataformas. e assim está disponível em

Geometria dinâmica, álgebra e cálculo

Por um lado, o GeoGebra é um programa de geometria dinâmica. Você pode realizar construções utilizando pontos, vetores, segmentos, retas, seções cônicas bem como funções e alterar todos esses objetos dinamicamente após a construção estar finalizada. Por outro lado, podem ser incluídas equações e coordenadas diretamente. Assim, o GeoGebra é capaz de lidar com variáveis para números, vetores e pontos, derivar e integrar funções e ainda oferece comandos para encontrar raízes e pontos extremos de uma função. Deste modo, o programa reúne as ferramentas tradicionais de geometria, com outras mais adequadas à álgebra e ao cálculo. Assim tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, duas representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si: sua representação geométrica e sua representação algébrica.


fonte: wikipedia


link para baixar o Geogebra: http://geogebra.softonic.com.br/

link para ver um trabalho realizado com o geogebra: http://www.uff.br/cdme/jct/jct-html/jct-br.html

Os Dez Mandamentos do Professor

Gente. Foi difícil decidir com o que começar. Aí me lembrei do artigo escrito por George Pólya e apresentado pelo nosso eterno Mestre Prof. Elon Lages Lima intitulado, "Os Dez Mandamentos para Professores". Segue ele abaixo.

1) Tenha interesse por sua matéria;
2) Conheça sua matéria;
3) Procure ler o semblante dos seus estudantes. Procure enxergar suas expectativas e suas dificuldades. Ponha-se no lugar deles;
4) Compreenda que a melhor maneira de aprender alguma coisa é descobrí-la você mesmo;
5) Dê aos seus estudantes não apenas informação, mas know-how, atitudes mentais, o hábito de trabalhos metódicos;
6) Faça-os aprender a dar palpites;
7) Faça-os aprender a demonstrar;
8) Busque, no problema que está abordando, aspectos que possam ser úteis nos problemas que virão. Procure descobrir o modelo geral que está por trás da presente situação concreta.
9) Não desvende o segredo de uma vez. Deixe os estudantes darem palpites antes. Deixe-os descobrir por si próprios, na medida do possível.
10) Sugira, não os faça engolir à força.


Você pode baixar o artigo integralmente aqui.