Mostre que a função denfida por H(x)=1, se x pertence aos racionais e 0, se x nao pertence aos racionais é periodica não constante de periodos denso no conjunto dos reais.
Prova:
(1) Ela é periódica pois
H(x+1) = H(x) para todo x em R.
Com efeito, se x for racional então x+1 também é logo H(x+1) = H(x) = 1. Analogamente se x for irracional então x+1 também é logo H(x+1) = H(x) = 0.
(2) Ela é não constante já que H(2) = 1 ≠ 0 = H(pi)
(3) Tem períodos denso nos reais.
Basta observar que se p é racional então p é um período para H.
Com efeito, se x é racional, x+p é racional e H(x+p) = H(x) = 1 e se x for irracional então x+p é irracional e assim H(x+p) = H(x) = 0.
Como os racionais são densos nos reais; os racionais é um subconjunto dos períodos e todo conjunto que possui um subconjuto denso é denso, segue-se o desejado.
Demonstração realizada pelo Prof. Henrique Reffert
Nenhum comentário:
Postar um comentário